我们学过很多代数，初等代数、集合代数、命题代数等等，它们研究的对象各不相同，使用的运算各不相同，我们接下来要研究的就是抽象的代数

1 二元运算

1.1 基本概念

1.1.1 运算的概念

设$X$是集合，$f:X^{n}\to Y$是个映射，则称$f$是$X$上的$n$元运算，如果$Y\subseteq X$，则称运算$f$在$X$上封闭

特别的，当$n=2$时，称$f$是$X$上的二元运算

1.1.2 解析公式

可以用$\star,*,\bullet,\otimes,\triangle,\circ$等表示运算

比如用$\star$表示二元运算$f$，可以把$f(<x,y>)=z$写成$x\star y=z$

1.1.3 运算表

用于表示有穷集合上的运算

1.2 二元运算的性质

1.2.1 封闭性

设$\star$是$X$上的二元运算，如果对任何$x,y\in X$，有$x\star y\in X$，则称$\star$在$X$上封闭

1.2.2 交换性

设$\star$是$X$上的二元运算，如果对任何$x,y\in X$，有$x\star y=y\star x$，则称$\star$在$X$上可交换

1.2.3 可结合性

设$\star$是$X$上的二元运算，如果对任何$x,y,z\in X$，有$(x\star y)\star z=x\star(y\star z)$，则称$\star$在$X$上可结合

如果$\star$是可结合的运算，元素$x$的$\star$运算，通常可以写成乘幂的形式，如下

$$
x\star x=x^{2}\quad x^{2}\star x=x\star x^{2}=x^{3}
$$

以及其他乘幂的性质

1.2.4 分配律

设$\star$和$\circ$都是$X$上的二元运算，若对任何$x,y,z\in X$，都有

$$
\begin{align}
x\star(y\circ z)=(x\star y)\circ (x\star z) \\
(x\circ y)\star z=(x\star z)\circ (y\star z)
\end{align}
$$

则称$\star$对$\circ$可分配

1.2.5 吸收律

设$\star$和$\circ$都是$X$上的二元运算，若对任何$x,y\in X$，都有

$$
\begin{align}
&x\star(x\circ y)=x \\
&x\circ (x\star y)=x
\end{align}
$$

则称$\star$和$\circ$满足吸收律

1.3 二元运算中的特殊元素

1.3.1 幂等元

设$\star$是$X$上的二元运算，如果有$a\in X$，满足$a\star a=a$，则称$a$是$X$上关于$\star$运算的幂等元

如果$\forall x \in X,x\star x=x$，则称$\star$在$X$上有幂等性，有幂等性的运算的运算表中主对角线元素和表头元素相同

1.3.2 幺元

设$\star$是$X$上的二元运算，如果有$e_{L}\in X$，满足$\forall x \in X,e_{L}\star x=x$，则称$e_{L}$是相对于$\star$的左幺元，如果有$e_{R}\in X$，满足$\forall x \in X, x\star e_{R}=x$，则称$e_{R}$是相对于$\star$的右幺元

如果$e_{L}=e_{R}=e$，则称$e$为相对$\star$的幺元，又称单位元、恒等元，如果有左幺元，也有右幺元，则$e_{L}=e_{R}=e$，且幺元是唯一的，左右幺元不唯一

在运算表中，左幺元：所在行的元素与上表头元素相同，右幺元：所在列的元素和左表头元素相同，幺元：两者结合

1.3.3 零元

设$\star$是$X$上的二元运算，如果有$\theta_{L}\in X$，满足$\forall x \in X,\theta_{L}\star x=\theta_{L}$，则称$\theta_{L}$是相对于$\star$的左零元，与幺元一样定义，定义为右零元

如果$\theta_{L}=\theta_{R}=\theta$，则称$\theta$是相对$\star$的零元，它与零元的存在和唯一性一样

在运算表中，左零元：所在行的元素与左表头元素相同，右零元：所在行的元素与上表头相同，零元：两者结合

如果一个运算存在幺元$e$和零元$\theta$，则$\theta\neq e$

1.3.4 逆元

设$\star$是$X$上有幺元$e$的二元运算，$x \in X$，如果有$X_{L}^{-1}\in X$，使得$X_{L}^{-1}\star x=e$，则称$X_{L}^{-1}$是$x$相对$\star$的左逆元，如果有$X_{R}^{-1}\in X$，使得$x\star X_{R}^{-1}=e$则称$X_{R}^{-1}$是$x$相对$\star$的右逆元

它们两个若相等，就称$x^{-1}$为$x$相对$\star$的逆元，也称$x^{-1}$与$x$互为逆元，如果$x^{-1}\in X$，也称$x$可逆，它与以上两个元素存在和唯一性一样

1.3.5 可消去元

设$\star$是$X$上的二元运算，$a\in X$，如果对任何$x,y∈X$，有$(a\star x=a\star y)\Rightarrow x=y$或者$(x\star a=y\star ya)\Rightarrow x=y$，则称$a$是相对$\star$的可消去元

如果对任何$a\in X\land a\neq0$，$a$均是可消去元，则称$\star$运算在$X$上有可消去性

如果$a\in X,a^{-1}\in X$，则$a$是可消去元

2 代数系统

2.1 代数系统的概念

$X$是非空集合，$X$和X上的$m$个运算$f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$构成代数系统$U$，记作$U=<X,f_{1},f_{2},\dots,f_{m}>(m\geq1)$，如果$X$是个有限集合，则称$U$为有限代数系统，两个代数系统，如果它们的运算$f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$和$g_{1},g_{2},\dots,g_{m}$的元数相同，则$U$和$V$是同类型代数系统

2.2 代数系统的同态与同构

观察这两个代数系统：

$$
<R^{+},\times>,<R,+>
$$

表面上看完全不同，但其实它们的性质完全一样，都可交换，可结合，有幺元，每个元素都可逆

如果我们建立从$R^{+}$到$R$的映射$f(x)=\lg{x}$，我们就会发现它是一个双射函数

对任何$x,y\in R^{+}$

$$
\begin{align}
f(x+y)&=\lg{x\times y} \\
&=\lg{x}+\lg{y}=f(x)+f(y)
\end{align}
$$

这两个系统同态，同时也同构

2.2.1 同态与同构

对于$<X,\star>,<Y,\circ>$是两个代数系统，都是二元运算，如果存在映射$f:X\to Y$，使得对$\forall x_{1},x_{2}\in X$，有$f(x_{1}\star x_{2})=f(x_{1})\circ f(x_{2})$，则称$f$是从$<X,\star>$到$<Y,\circ>$的同态映射，简称这两个代数系统同态，记作$X \backsim Y$，称$<f(x),\circ>$为$<X,\star>$的同态像

• 如果$f$是满射的，称它为满同态
• 如果$f$是入射的，称它为单一同态
• 如果$f$是双射的，称它为同构，记作$X\cong Y$
• 若$f$是一个代数系统到自己的同态(同构)，则称之为自同态(同构)

代数系统间的同构关系是等价关系，满足自反性，对称性，传递性

2.2.1.1 代数系统同构的必要条件

• $X$和$Y$的基数相同，即$K[X]=K[Y]$
• 运算$\star$和$\circ$是同类型的
• 存在双射$f:X\to Y$，且满足同构关系式(并不是所有的这类双射都满足同构关系式)
• 幺元与幺元对应，零元与零元对应，逆元也要相互对应

2.2.2 同态同构的性质

两个代数系统是同构的，在$<X,\star>$中的一些运算性质在$<Y,\otimes>$中也有，反之亦然

• 可结合性
• 可交换性
• 可以保持幺元的存在性：幺元$e_{\star}$和幺元$e_{\otimes}$，且$f(e_{\star})=e_{\otimes}$
• 可以保持零元的存在性，算法和上面一样
• 如果$<x,\star>$中每个$x \in X$可逆，则$<Y,\otimes>$每个$y \in Y$也可逆，并且如果$y=f(x)$，则$y^{-1}=(f(x))^{-1}=f(x^{-1})$ (映像的逆元=逆元的映像)
• 在多个运算的代数系统中，保持分配律
• 在多个运算的代数系统中，保持吸收律

同构：

2.2.3 同态核

设$f$是从$<X,\star>$到$<Y,\otimes>$的同态映射，$e_{\star}$和$e_{\otimes}$分别是两者的幺元，定义集合$ker(f)$为:$ker(f)=\left\{ x|x \in X\land f(x)=e_{\otimes} \right\}$，称$ker(f)$为$f$的同态核